二進制

二進制（英語：Binary System）是一種以2為基數的進位制數制系統，僅使用0和1兩個數字符號，其基數為2，進位規則為"逢二進一"，借位規則為"借一當二"。每個二進制數字稱為一個比特（Bit，即Binary digit的縮寫），是信息論與計算機科學中最基本的數位單元。二進制數據採用位置計數法，其位權是以2為底的冪，任何數值均可表示為若干2的冪次之和。現代電子計算機普遍採用二進制作為底層運算與數據存儲的基礎，因其僅需兩種對立的物理狀態即可實現，如晶體管的導通與截止、高低電平等。1985年，IEEE發布IEEE 754標準，規範了二進制浮點算術的表示與運算，成為現代數值計算的通用基礎。

二進制
中文名	二進制
外文名	Binary System
別名	二進位制
基數	2
數碼	0、1
基本單位	比特（Bit）
進位規則	逢二進一
借位規則	借一當二
主要應用	電子計算機、數字電路
提出者	戈特弗里德·威廉·萊布尼茨

定義與表示

二進制是一種逢二進一的計數系統，其數位從右向左的位權依次為<math>2^0, 2^1, 2^2, \dots</math>。例如，二進制數<math>1101_2</math>按權展開為：

<math>1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}</math>

二進制數通常以下標2或後綴B標識，以區別於十進制數。小數部分同樣遵循位權原則，各位權值為<math>2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \dots</math>，但並非所有十進制小數都能精確轉換為有限位二進制小數。

歷史

二進制系統的數學基礎由德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）於1679年建立，並於1703年在《皇家科學院回憶錄》上發表論文《二進制算術的解釋》（Explication de l'Arithmétique Binaire），正式向西方學術界系統闡述了二進制算術。萊布尼茨在與中國傳教士的書信中提及，《易經》的六十四卦由陰爻（斷線）與陽爻（連線）組成，其排列順序與0至63的二進制數值完全對應，這使他確信二進制是一種普適的數學語言。

19世紀，喬治·布爾（George Boole）創立布爾代數，以0和1為變量值進行邏輯運算，為電子計算機採用二進制提供了理論基礎。20世紀40年代，馮·諾依曼團隊在設計電子計算機時，將二進制系統付諸實踐，通過高低電平分別對應0和1，實現了信息的物理表徵與存儲。1983年，IEEE《通信雜誌》刊文回顧了二進制編碼的早期歷史，系統梳理了其從數學理論到工程應用的演進脈絡。

運算規則

二進制數的四則運算規則簡潔，僅涉及0和1兩個數碼的組合。

加法

二進制加法遵循以下規則：

<math>0 + 0 = 0</math>

<math>0 + 1 = 1</math>

<math>1 + 0 = 1</math>

<math>1 + 1 = 10</math>（逢二進一）

例如：<math>1011_2 + 11_2 = 1110_2</math>。

減法

二進制減法規則如下：

<math>0 - 0 = 0</math>

<math>1 - 0 = 1</math>

<math>1 - 1 = 0</math>

<math>0 - 1 = 1</math>（向高位借一當二）

例如：<math>10100_2 - 1010_2 = 1010_2</math>。

乘法

二進制乘法規則與邏輯"與"運算一致：

<math>0 \times 0 = 0</math>

<math>0 \times 1 = 0</math>

<math>1 \times 0 = 0</math>

<math>1 \times 1 = 1</math>

運算時按位相乘後累加，其過程與十進制乘法類似，但因數碼僅有0和1，部分積的移位相加大幅簡化。

除法

二進制除法規則為：

<math>0 \div 1 = 0</math>

<math>1 \div 1 = 1</math>

除法運算通過逐位比較被除數與除數的大小，商僅為0或1，餘數繼續下移補位，直至完成全部位運算。

與其他進制的轉換

與十進制

二進制轉十進制採用"按權展開求和"法，將各位數碼乘以其對應位權後累加。十進制整數轉二進制採用"除二取余，逆序排列"法；十進制小數轉二進制採用"乘二取整，順序排列"法。

與八進制

二進制轉八進制時，從小數點起整數部分向左、小數部分向右，每三位分為一組，不足三位以0補足，每組對應一位八進制數。反之，每位八進制數展開為三位二進制數。

與十六進制

二進制轉十六進制時，每四位分為一組，不足四位以0補足，每組對應一位十六進制數（0–9及A–F）。十六進制轉二進制則將每位展開為四位二進制數。

在計算機中的應用

二進制是現代數字電子計算機的運算基礎。由於二進制僅有兩個數碼，可用任何具有兩種對立穩定狀態的物理元件表示，如晶體管的導通與截止、電容的充電與放電、磁性材料的兩種剩磁狀態等，這使得數字裝置結構簡單、可靠性高。

在計算機內部，所有數據——包括數值、字符、圖像、音頻——最終均以二進制形式存儲與處理。為規範浮點數的二進制表示，IEEE於1985年制定IEEE 754標準，定義了單精度（32位）與雙精度（64位）二進制浮點格式，確保了數值計算在不同平台間的一致性與可移植性。此外，二進制補碼（Two's Complement）被廣泛用於表示有符號整數，使減法運算可通過加法電路統一實現。