自然數
自然數（英文：Natural number）是數學中最基本的數系之一，用以計量事物的件數或表示事物的次序。按國際標準化組織（ISO）發布的 ISO 80000-2:2019 標準，自然數指非負整數，即 0, 1, 2, 3, 4, …… 構成的無窮集合，通常用符號 ℕ 表示[1]。然而，關於自然數是否包含 0 至今尚無全球統一共識：在數論領域通常將自然數定義為正整數（從 1 開始），而在集合論、計算機科學及邏輯學中則多將 0 納入自然數集合[2]。19 世紀義大利數學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）提出的皮亞諾公理體系，為自然數提供了嚴格的邏輯基礎[3]。
| 自然數 | |
|---|---|
| 英文名 | Natural number |
| 符號 | ℕ |
| 定義 | 非負整數（ISO 80000-2:2019） |
| 起始值 | 0 或 1（依領域而定） |
| 所屬數系 | 整數 |
| 相關概念 | 正整數、整數、有理數 |
定義與範圍
自然數的定義在不同數學分支中存在差異。按國際標準化組織 ISO 80000-2:2019 的定義，自然數為非負整數，即集合 {0, 1, 2, 3, ……}[1]。但在數論中，自然數通常指正整數 {1, 2, 3, ……}，此時非負整數集被稱為"全數"（Whole numbers）[2]。為避免歧義，現代數學文獻常使用 ℕ⁺ 或 ℕ* 表示正整數集，用 ℕ₀ 表示包含 0 的非負整數集[1]。
歷史
自然數的概念源於人類最基本的計數需求，其歷史可追溯至史前時期。法國數學家尼古拉·許凱（Nicolas Chuquet）於 1484 年首次用"progression naturelle"（自然級數）描述序列 1, 2, 3, 4……。英國數學家威廉·埃默森（William Emerson）在 1763 年的著作《增量法》（The Method of Increments）中首次在英語中使用"natural number"一詞[2]。
19 世紀，數學家們致力於為數系建立嚴密的邏輯基礎。朱塞佩·皮亞諾於 1889 年提出皮亞諾公理，理察·戴德金（Richard Dedekind）和戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）等也分別從集合論和邏輯學角度對自然數進行了嚴格定義[2]。
公理化定義
皮亞諾公理
皮亞諾公理是定義自然數最廣泛使用的公理體系，包含五條基本公理[3]：
- 0 是一個自然數；
- 每一個自然數都有一個後繼者，且後繼者也是自然數；
- 0 不是任何自然數的後繼者；
- 如果兩個自然數的後繼者相同，則這兩個自然數相同；
- （歸納公理）若一個集合包含 0，且包含其中每個元素的後繼者，則該集合包含所有自然數。
第五條公理即數學歸納法的基礎，使得關於自然數的無限命題可以通過有限步驟證明[2]。
集合論構造
在策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）中，自然數可通過空集遞歸構造：定義 0 為空集 ∅，1 = {0}，2 = {0, 1}，以此類推，每個自然數 n 定義為所有小於 n 的自然數組成的集合[2]。
基本運算
自然數集對加法和乘法運算是封閉的，即任意兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數。加法和乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律[2]。
減法和除法在自然數集中不總是封閉：當減數大於被減數，或除法不能整除時，結果將超出自然數範圍。因此，減法和除法並非自然數集上的全運算[1]。
性質
自然數具有離散性和無限性。自然數集是良序集，即任意非空子集都有最小元。自然數可分為基數（表示數量）和序數（表示次序）兩種基本用途[1]。
按因數個數，大於 1 的自然數可分為質數（僅含 1 和自身兩個因數）與合數（含其他因數）；1 既非質數也非合數。若將 0 納入自然數，0 同樣既非質數也非合數[1]。